Подавляющую часть информации о внешнем мире человек получает с помощью зрения. Именно поэтому инженерная графика и начертательная геометрия - обязательные дисциплины в инженерной подготовке. Инженеры всего мира легко объясняются друг с другом посредством чертежей. Чертеж передает идею конструкции, а расчеты служат уточнению ее количественных характеристик.

Совсем иначе обстоит дело в пространствах размерностью выше 3-х. Здесь доминируют расчеты, а наглядность достигается "урезанием" всех координат, кроме двух. Очень показательна методика представления мировых линий в пространстве Минковского: из четырех координат берут временную и одну (!) пространственную и в таком "пространстве" пытаются представить четырехмерные эффекты. Конечно, наглядные представления в таком процессе если и играют, то только подчиненную роль.

В предлагаемой статье автор делает попытку представления на плоскости некоторых элементов четырехмерного и пятимерного пространств. Понятно, что работа воображения начинается при изображении на плоскости трехмернных объектов.

С этого и начнем. Традиционным (и, кстати, весьма практичным) элементом трехмерного пространства является куб. Его мы давно научились изображать на плоскости, например, так, как показано на рис.1.

Рис. 1. Изображение элемента трехмерного пространства (куба) на плоскости с учетом перспективы. Слева наблюдатель смотрит из своего пространственного куба на соседний, а справа - смотрит извне на изолированный куб.

Согласитесь, требуется некоторое усилие, чтобы видеть эти кубы в прямой, а не обратной перспективе.

Рис.2. Изображение элемента четырехмерного пространства (гиперкуба) на плоскости с учетом перспективы.

Еще сложнее обстоит дело с представлением хорошо известного гиперкуба - элемента четырехмерного пространства, показанного на рис. 2 аналогично кубу с точки зрения наблюдателя изнутри и извне гиперкуба.

Попытки автора изобразить на плоскости элемент пятимерного пространства привели к такому хаосу пересекающихся линий, в котором не могли помочь разобраться никакие градации оттенков и начертаний.

Однако, трехмерное пространство может быть представлено и другим элементом - тетраэдром. Он менее удобен, чем куб, но значительно более экономен в количестве вершин, ребер и граней. Проще всего тетраэдр может быть получен путем отсечения вершин куба плоскостями, проведенными через диагонали граней куба как это показано на рис.3.

Рис.3. Построение тетраэдра.

На этом рисунке хорошо видны и достоинства, и недостатки такого элемента:

Достоинства

• вершин - 4, а не 8,
• ребер - 6, а не 12,
• граней - 4, а не 6.

Недостаток один, но существенный - вершины тетраэдра не задают координатных осей в отличие от вершин куба.

Замечание. Геометры применяют тетраэдр, построенный на координатных осях посредством проведения плоскости через точки 100, 010 и 001, который задает координатные оси. Однако, этот тетраэдр "ab ovo" неправильный (три грани - прямоугольные равнобедренные, и только одна - равносторонний треугольник). Если к "естественным" искажениям проецирования мы добавим еще и свои "искусственные", то это не только не облегчит, а напротив запутает нас в искажениях.

Координатные оси необходимы для расчетов, поэтому этот недостаток можно преодолеть, введя соответствующий алгоритм вычислений (здесь мы не будем обсуждать этот алгоритм, так как наша основная задача - наглядная сторона дела). Достоинство же - экономию деталей - мы и используем в дальнейшем.

Прежде всего обратим внимание на то, что четырехмерный гипертетраэдр состоит из пяти тетраэдров (а не 8 кубов, как гиперкуб). Построим его.

Из рис.3 видно, что, изображая тетраэдр на плоскости, мы вынуждены исказить его грани - равносторонние треугольники - в зависимости от выбранной проекции. Аналогично придется поступать и при сборке гипертетраэдра в виде трехмерного тела (которое нам потом еще нужно изобразить на плоскости).

Один из способов такой сборки - триметрическая проекция четырехмерного тела в трехмерное пространство - проекция, при которой два тетраэдра без искажений совмещаются одной гранью, а две не общие вершины соединяются прямой, образующей вместе с другими ребрами три искаженных тетраэдра (см. рис.4).

Рис.4. Гипертетраэдр и два искаженных тетраэдра.

На рисунке изображен гипертетраэдр и два из трех искажаемых при проецировании четырехмерного гипертетраэдра в трехмерное тело тетраэдров.

Особенностью такого способа проекции является то, что искажается - растягивается - только одно из ребер гипертетраэдра (конечно, рисуя эту трехмерную проекцию на плоскости мы искажаем и остальные). Поэтому трехмерная триметрическая проекция гипертетраэдра удобна для работы с пространством Минковского. В ней можно, например, изобразить "тело жизни" какого-либо объекта.

Рис. 5 "Тело жизни" материального объекта (серым цветом показано нечеткое множество его состояний).

Гипертетраэдр можно построить и иначе, так, как это показано на рис. 6. Из рисунка видно, что гипертетраэдр содержит 5 вершин, 10 ребер, 10 граней и 5 тел (тетраэдров), что существенно меньше, чем в гиперкубе.

Рис.6. Сборка гипертетраэдра из пяти искаженных тетраэдров.

Аналогичный способ сборки позволяет изобразить и элемент пятимерного пространства, построенный на той же тригональной основе. Изображенные на рис.7 гипертетраэдры (гипертела) следует последовательно наложить друг на друга, совмещая попарно равноискаженные тетраэдры (тела).

Правильно выполненная операция такого совмещения приведет к образованию элемента пятимерного пространства, его четырехмерной проекции (гипертела), трехмерной проекции этого гипертела и, наконец, двумерного рисунка. Именно такой результат и показан на рис.8.

Легко видеть, что тригональный элемент пятимерного пространства содержит 6 вершин, 15 ребер, 20 граней (равносторонних треугольников), 15 тел (тетраэдров) и 6 гипертел (гипертетраэдров).

Рис.7. Гипертетраэдры, искаженные для сборки элемента пятимерного пространства.

Понятно, что работать с этим рисунком практически невозможно - слишком много искажений. Однако трехмерная модель элемента пятимерного мира уже позволяет (при некотором напряжении воображения) представлять поведение в пятимерье по крайней мере четырехмерных гипертел - тех самых, например, пространственно-временных "колбасок", которыми и являемся и мы сами, и все объекты вокруг нас.

Рис.8. Элемент пятимерного пространства на тригональной основе.