Александр Севастьянов
Сингулярное пространство
Как точная наука классическая физика всячески подчёркивает порядок и устойчивость, но при создании физики неустойчивых систем мы стоим перед выбором одной из многих возможностей и ограниченную предсказуемость на всех уровнях наблюдения. Это обстоятельство заставляет подойти к рассмотрению в физике понятий неустойчивости и хаоса, и их описания при помощи сингулярного (в математическом понимании) пространства.
Введение
        В данной работе для описания квантовых систем и их поведения вводится понятие сингулярного (Sg) пространства. Идея Sg–пространства состоит в том, что в нём невозможно выделить отдельную точку, равно как и отдельный элемент этого пространства, следовательно, размерность такого пространства (прямая, плоскость и т.д.) неопределима. Sg–пространство обладает качеством неопределённости, но вносит порядок в понимание квантового мира, критерием которого являются неопределённость и обратимость [1]. Для необходимости введения этого понятия производится исторический экскурс в проблемы изучения микромира. В этой работе используется положение, что физические объекты являются колебательными системами, и при описании физических процессов возникает проблема их детерминированности и обратимости. Значения описываемых событий могут быть неоднозначными, в данной работе это показано на различных примерах.
        Это поднимает проблему понимания классических физических законов, записанных для таких ситуаций в макромире, когда доля неопределённости мала и слабо влияет на величину искомого значения, в микромире же эта доля становится значительной, и классические законы получают разброс в результатах их применения. Применение Sg–пространства снимает конфликт между макро и микромиром.
        Целью данной работы является дать обзор проблем, связанных с применением классических физических законов к микромиру и показывающих актуальность понятия Sg–пространства для их решения.
Сингулярное пространство и его актуальность
        Геометрическая точка не имеет измерительных характеристик. Но ей можно придать некоторое внутреннее содержание, которое не может быть выражено какой-либо геометрией. Тогда образуется неделимое Sg–пространство, как эквивалент геометрической точки, в котором невозможно выделить какую-либо отдельную часть. Окружающее Sg–точку пространство (окружение), является обратным Sg–точке, и ему также присуще неделимое внутреннее состояние.
    Sg–пространство и его (ортогональное по определению) окружение (Sg-1–пространство) составляют осциллирующую пару, в которой они функционально периодически меняются местами (образуется осциллирующая симметрия), эту пару можно определить как осциллирующее единое образование – Sg–осциллятор. Sg–осциллятору можно символически сопоставить модель маятника, где традиционные пружины и грузики заменены предложенной парой. Это позволяет построить колебательную систему «на пустом месте» в отсутствие материальных объектов.
        Результирующее действие Sg–осциллятора за период нулевое и, значит, неизмеримо и необнаруживаемо. Но  в составе квантовой системы Sg–осциллятор является источником неопределённости. Взаимодействие такой системы с другими подобными системами приводят к получению уже реальных результатов, которые отвечают нормальному вероятностному распределению. Маятник, символизирующий Sg–осциллятор, обязательно имеет  максимальное значение, превышение которого приводит к нарушению его симметрии и  результирующее действие за период становится отличным от нуля, пространство становится реальным и измеримым.
        В геометрии пространство считается статичным и неограниченным, в физике – динамичным и ограниченным, динамизм подразумевает некоторую скорость, которая имеет предел. Поэтому Sg–осциллятор является ограниченным. Измеримые характеристики такого осциллятора неопределены, но в результате взаимодействия с другими квантовыми системами выражаются конкретным рациональным значением. Таким образом, реальное пространство определяется дискретными рациональными значениями, разделёнными Sg–интервалами. Для макромира они достаточно малы, чтобы считать реальное пространство гладким.
        Такие Sg–осцилляторы находят место в приложении к уравнению Шрёдингера – волновой функцией, в общем случае Большими Системами Пуанкаре [2], которые рассматриваются в данной работе ниже. Физические процессы, проходящие в Sg–пространстве, являются обратимыми. Здесь невозможно определить приоритет какой-либо его части, что в нём является причиной, что следствием колебательного процесса. Sg–пространство существует вне времени, вне энергии. Проблемы, связанные с Sg–пространством, появлялись всегда в истории физики, и поэтому ниже приводится исторический экскурс этих проблем. Сингулярное пространство необходимо для того, чтобы дать определение энергии квантовых систем.
Сингулярная функция
        Сингулярная функция – как частный случай представления Sg–пространства – непрерывная функция, значение производной которой равно нулю почти всюду [3], [4]. Sg–пространство имеет только одну точку, в которой производная отлична от нуля, т.к. оно этой точкой представлено.
        Сингулярная функция Минковского взаимно-однозначно и с сохранением порядка переводит квадратичные иррациональности (то есть, числа вида (a+b), где a и b – рациональные) на отрезке [0;1] в рациональные числа на том же отрезке, а рациональные числа – в двоично-рациональные [3]. Функция Минковского – это попытка конформного отображения Sg–пространства на рациональное.
        Сингулярная функция Дирака (–функция) – есть сингулярная обобщённая функция.  Позволяет записать пространственную плотность физической величины (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенной или приложенной в одной точке.  – функция не является функцией в классическом смысле. Она определяется как непрерывный линейный функционал на пространстве дифференцируемых функций [3]. Значит, функция выявляет такую область определения, которая является неделимой (т.е. подобной точке). Если бы Поль Дирак придал этой функции осциллирующий характер (т.е. противопоставил бы –функции аналогичный антипод – окружение), он получил бы функцию, описывающую Sg–осциллятор (к чему он собственно и стремился).

Рис. 3.1. Канторова лестница
        Для примера, «Канторова лестница» является частным случаем сингулярной функции Минковского. Производная Канторовой лестницы определена и равна нулю во всех точках кроме канторова множества. Канторова лестница непрерывна, ограниченной вариации, но не абсолютно непрерывна [5].
        Таким способом можно показать у квантовых систем переходы от одного энергетического уровня к другому, когда сам переход занимает какое-то время.  Но для Sg–представления, когда переход не занимает времени, наклонные участки графика красного цвета, изображённого на рис. 3.1. должны стать вертикальными, как на графике синего цвета. Любое приложение сингулярных функций упирается в проблему Sg–пространства для обоснования такого аналитического разрыва.  Линия синего цвета удовлетворяет таким критериям, как неопределённость и обратимость, предъявляемым к квантовым теориям.
Векторный поток

Рис. 4.1. Векторный поток
        В рациональном пространстве было бы достаточным для этого использовать произведение некоего вектора на площадь потока. Но единый вектор таким путём не определяется – этому в приложениях препятствует вероятностное распределение потока, и нижеприведенная теорема Гаусса является разрешением проблемы определения общего потока и некоторой его части [6].
        Поток – область, которой присуще некоторое внутреннее движение, которое не показать отдельными точками, иначе всё движение можно было бы показать одним вектором, приложенным к изотропной поверхности. На рисунке  показан символический векторный поток, но из которого видно, что одним вектором его не описать, сам поток охвачен хаотическим влиянием, но какую-то отдельную его часть можно приблизить к линейной или упорядоченной, чтобы придать некоторую определённость.
        Вектор Пойтинга – плотность потока энергии через поверхность – также выделяет в Sg–осцилляторе часть энергии колебательного процесса. Понятие потока – это признак Sg–пространства, в котором допускается к рассмотрению его некоторая часть. Поток векторного поля через поверхность – теорема Гаусса – поверхностный интеграл второго рода [7]:
,  где F – векторное поле.       (4.1.)
        Это общая форма представления векторного потока. Здесь в Sg–пространстве «вырвана» отдельная область, которой придан рациональный характер. Карл Фридрих Гаусс в первой половине 19 века применил метод преобразования тройного интеграла в поверхностный (на ряду с М. В. Остроградским),  приняв сингулярность одного из дифференциалов. Это было использовано в решении задач по электродинамике. Следовательно, проблемы представления Sg–пространства появились ещё во времена становления основ электродинамики.
Неопределённости Гейзенберга
        Соотношения неопределённостей Гейзенберга являются теоретическим пределом точности одновременных двух не коммутирующих наблюдаемых измерений. Например, согласно принципу неопределённости, у частицы не могут быть одновременно точно измерены положение (координаты) и скорость (импульс) [8]. Принцип неопределённости, сформированный Вернером Гейзенбергом в 1927 г., является одним из краеугольных камней физической квантовой механики. Является следствием принципа корпускулярно-волнового дуализма [9].

Рис. 5.1. Распределение фотонов на щелевом промежутке
        Этим принципом подчёркивается значимость хаоса у квантовых систем, присутствие Sg–осцилляторов в каждой квантовой системе. Эта неопределённость преследует в той или иной степени любой физический процесс и может показать его квантовый характер. Любой микрообъект (в нашем случае – фотон), проходящий сквозь щель, обнаруживает Sg–присутствие, выраженное вероятностным распределением (см. рис. 5.1.), называемое волновой функцией  и плотностью распределения . Тем самым создаётся впечатление корпускулярно-волнового дуализма, но любая квантовая система состоит из рациональной и сингулярной частей. Последняя часть придаёт системе неопределёность (Sg–характер).
        То же самое применение Sg–пространства можно дать к пояснению природы корпускулярно-волнового дуализма. С введением понятия Sg–пространства неопределённость становится физический понятием.
Хаотическая квантовая система Бора
        По мнению Нильса Бора измерительный прибор должен выполнять существенную функцию: он должен быть промежуточным звеном между законами квантовой механики, выполняющимися на микроскопическом уровне, и миром классической физики  [1]. Квантовая теория не переходит плавно в классическую теорию. Измерительный прибор по Бору, «сглаживает» этот переход, делает его плавным [10]. Бор указал, что это должна быть динамическая квантовая система, но не указал, как её получить. Благодаря квантовой теории БСП (Больших Систем Пуанкаре, рассмотренных ниже в разделе «Теорема Пуанкаре») удалось придать утверждениям Бора более конкретный смысл – измерительный прибор должен быть «хаотической» квантовой системой (т.е. с Sg–осциллятором) [11].
        Бор акцентировал возможность такого действия на неинтегрируемую часть системы, которое превращает её в интегрируемую (квантовый переход). В результате система получает конкретное реальное значение, которое принято называть квантовым, а испытатель получает конкретный результат.
        Это значит, что для оценки некоторого значения в Sg–пространстве нужен конфликт с другим подобным, тоже Sg–пространством. Без этого конфликта измерения не произвести, т.к. Sg–пространство, в котором производятся измерения, не акцептирует реальных значений.

Рис. 6.1. Очертания электрического поля
        Взаимодействие двух Sg–пространств выливается в реальное значение, что и делает измерения возможными. Под «хаотической» квантовой системой в представлении Бора подразумевается Sg–осциллятор системы, являющийся опорным для производства оценок других квантовых систем.
        Благодаря конфликту двух Sg–осцилляторов имеется возможность увидеть очертания электрического поля. Само по себе поле не проявляется, но когда Sg–осциллятор электрического заряда вступил в конфликт с подобными осцилляторами (в нашем случае – опилок), то последние получили ориентацию, и поле стало заметным. Наглядный пример представлен на рис. 6.1, когда поле приобретает очертания. Этот эффект делает непредставимые физические процессы наглядными, и мы этим успешно пользуемся.
Уравнение Шрёдингера
        Для квантовых состояний, описываемых уравнением Шрёдингера необходим коллапс волновой функции, не входящий в фундаментальное уравнение квантовой механики. Это уравнение детерминистическое и обратимое во времени. Здесь волновая функция определяет границы обратимости процессов во времени, и является сингулярной. Но уравнение не приписывает событиям объективного смысла, это обратная сторона детерминированности в описании микромира, где к событию следует отнести квантовые эффекты. Этого в уравнении не предусмотрено, но необходимо иметь возможность рассмотрения «обеих сторон медали», именуемой микромиром. Это предусмотрено теоремой Пуанкаре, которая рассматривается в следующем параграфе.
Теорема Пуанкаре
        Теорема Пуанкаре – об интегрируемых и неинтегрируемых динамических системах [12]. Вопрос Пуанкаре был сформулирован в терминах теории возмущений. Он начал с гамильтониана, записанного в виде суммы H(J)+ V(J,a)  [13]. Свободный гамильтониан H соответствует интегрируемой системе, изоморфной системе свободных частиц. Затем H возмущается потенциалом взаимодействия V(J,a), где  – константа связи (параметр, измеряющий интенсивность взаимодействия). Потенциал взаимодействия делает динамическую систему неинтегрируемой.
        Причина не интегрируемости – существование резонансов между степенями свободы. Резонансы отвечают за невозможность исключения взаимодействия. В данном случае резонансы являются частным случаем Sg–пространства, которые не интегрируемы и выходят за рамки классических представлений.
        Микроканоническое распределение Гиббса – распределение вероятностей различных состояний замкнутой макроскопической системы, т. е. системы, не взаимодействующей с окружающими телами и имеющей постоянную энергию [14]. Подобная система в действительности не может быть получена и является идеализированной. Её состояния являются вырожденными: каждому значению энергии могут соответствовать различные состояния. Это нормальное распределение внутри неинтегрируемой части системы, а распределение является случайным процессом, принадлежащему каждый раз отдельной квантовой системе.

Рис. 8.1. Порядок (слева) и хаос (справа)
        Рис. 8.1 показывает классическое представление о порядке (слева) и хаосе (справа). Порядок поддаётся описанию – интегрируем, хаос описанию не подлежит – он не интегрируем – сингулярен [15]. Весь мир находится в промежутке между этими двумя состояниями. Но это описание символически опирается на представление идеального газа. Оба состояния участвуют в хаосе. Но в таком хаосе всегда можно выделить отдельный элемент.
        БСП (Большие системы Пуанкаре) описывают отдельный элемент классического хаоса. Этот элемент является квантовой системой, состоящей из двух частей, как это показано на рис. 8.2.

Рис. 8.2. Большие системы Пуанкаре
        Любой физический объект в той или иной степени относится к БСП, но это свойство становится значительным и определяемым относительно квантовых систем. В случае не диссипативных систем хаос является стабильным квантовым состоянием (хотя и неопределённым). Интегрируемая часть (красная) носит характер константы. Не интегрируемая (синяя) часть принимает значения от нуля до максимального значения следуя вероятностному характеру распределения Гиббса (граничные состояния слева и справа, промежуточное – в центре) (см. рис. 8.2). В квантовом представлении неинтегрируемая часть не состоит из отдельных элементов. Это Sg–неделимая часть, которая на рисунке принимает сплошной окрас.  В квантовом хаосе участвует только Sg–часть.
        Кратностью вырождения данного состояния называется число состояний, т.е. при каждом квантовом переходе появляется новое Sg.
        Пример БСП: выражение фотоэффекта – E = h + eU [16]. Первое слагаемое выражает интегрируемую часть энергии, второе – неинтегрируемую (Sg) часть, носящую вероятностный характер. Фотон, который передал электрону энергию, обладает определённой частью и вероятностной частью, является типичным представителем БСП.  Без Sg–пространства невозможно показать хаос внутри квантовой системы.
Сингулярное пространство и система отсчёта.
        После работ Г.А. Лоренца [17] эфир стал материально олицетворять абсолютное неподвижное пространство. Эфир – выделенная система отсчёта, и образованию теории несущего эфира мы обязаны Р. Декарту и его системе координат. Любая, определённая в декартовой системе координат, функция обречена на поиск светоносного эфира. Этому правилу следует электродинамика и связанные с ней теории.
        Считается, что Вакуум – невыделенная система отсчёта. Но в нём мы помещаем материальные тела и тоже выделяем в них точку отсчёта. «Жертвой» такого порядка является квантовая механика, которая считает элементарные частицы материальными точками и безуспешно отыскивает их координаты. Т.е. вакуум – только частичный отказ от теории эфира.
        Полный отказ от выделенный системы отсчёта обеспечивает применение сингулярного пространства. Для описания квантовых систем с полным отказом от светоносного эфира необходима невыделенная дифференциальная система отсчёта, где за начало может быть принято нулевое значение производной динамического процесса, образующего квантовую систему. Невыделенный отсчёт существует внутри квантовой системы и связан с другими квантовыми системами не геометрически, но энергетически. Такая связь является более предпочтительной, т.к. любой материальный объект не является точечным и имеет внутреннюю структуру.
Итоги экскурса
        Проблема представления Sg–пространства имеет свою историю, приведённую в этой работе в виде только нескольких примеров. Sg–пространство снимает проблему обратимости физических процессов и становится поводом для определения времени как физического фактора, определяемого количеством реализаций Sg–пространства (событий). Квантовой науке присуще два признака – неопределённость и обратимость [1], введение понятия Sg–пространства здесь оправдано, как удовлетворяющее обоим этим критериям. Теории, не удовлетворяющие этим критериям, не могут считаться квантовыми.
    Sg–пространство является источником реального пространства, которое в классических моделях воспринимается как должное, но без источника которого невозможно дать определения энергии (в задачу этой работы не входит), без этого энергия определяется лишь символически.
    Sg–характер принадлежит любой квантовой системе, является его характерной особенностью. Это проявляется в оценке рассмотренных выше явлений, и требует корректировки их пониманий.  «Особенные» свойства этих проявлений требуют не просто введения понятия Sg–пространства и Sg–осцилляторов, но и отнесения их к строению квантовых систем, что позволяет в результате прийти к их организации и структуре.
    Sg–пространство делает реальное пространство дискретным, процессы обратимыми. Но большое количество квантовых систем вкупе позволяет считать реальное пространство гладким, а обратимость процессов едва ли заметной.
    Sg–пространство позволяет получить осциллирующую функцию (ряд дискретных значений, разделённых Sg–интервалами), т.е. получить такую теорию колебаний, которая позволит выполнить количественные и качественные оценки квантовых систем, а, следовательно, и явлений макромира, что, собственно, и является основной задачей физики.
    Sg–пространство касается описания не только микромира, может создаться впечатление, что неопределённости становятся относительно меньшими по мере перехода к макромиру. Но в природе есть место для больших и даже макроскопических квантовых систем, при которых роль Sg–пространства становится значительной, это необходимо учитывать при описании таких систем и всей Вселенной. Это понятие делает шаг к пониманию природы физических полей, и в частности природы электричества.
Литература
1. И. Пригожин, И. Стенгерс.    Время. Хаос. Квант. М.: УРСС 2003, - 242с.  [
2. Пуанкаре А.    Избранные труды в трёх томах. Указ. соч. - Т. 3. - 682с.
3. Храмов Ю. А. Минковский Герман (Minkowski Herman)    Физики: Биографический справочник   Под ред. А. И. Ахиезера. - Изд. 2-е, испр. и дополн. - М.: Наука, 1983, - 400с.
4. Royden, H.L. Real Analysis, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey (1988)
5. Bailey, D. H. and Crandall, R. E.  Random. Generators and Normal Numbers. Exper. Math. 11, 527-546, 2002.
6. A. Gray. Gauss's Theorema Egregium. §20.2 in Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces. Boca Raton, FL: CRC Press, 1993, 395-397p.
7. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. М. "Юрайт", 2016,  - 703с.
8. Sen. D.   The uncertainty relations in quantum mechanic (PDF). Current Science 107 (2) 2014, 203-218p.
9. А. С. Давыдов. Квантовая механика - 2-е изд., испр. и перераб. - М.: Наука, 1973, - 704с.
10. N. Bohr. On the Quantum-Theory of Line-Spectra I. Acad. Copenhague 8 serie,.t. IV, № 1, fasc. 1 (1918).
11. Bohr, Niels. Transmutations of Atomic Nuclei. Science 86 (2225):(20 August 1937) 161-165c.
12. I. Prigogine. The end of certainty. The free press. N-York, London, Toronto, Sidney, Singapore, 1997, 208c.
13. Hadyn N., J. Luevano, G. Mantica, S. Vpienti. Multifractal properties of return time statistics Phys. Rev. Lett. 2002, - 88p.
14. Зубарев Д.Н., Морозов В.Г., Репке Г. Статистическая механика неравновесных процессов. Том 1 Перевод с англ., Москва, Изд-во Физико-математической литературы, 2002, - 432с.
15. И. Бекман. Информатика. Лекция 9. Информационные парадоксы. МГУ. 2009. - 23 с.
16. Л. Д. Ландау  Е. М. Лифшиц. Квантовая механика (нерелятивистская теория).  М.: Наука, 1974, - 752с.
17. Уиттекер Э.  История теории эфира и электричества. - М.: Регулярная и хаотическая динамика, 2001. - 512 с.
В оглавление