Моделирование взаимодействия электромагнитной волны с поверхностью твердого тела

Взаимодействие электромагнитной волны  поверхностью твердого тела представляет интерес для создания технических устройств нового поколения, которые могут найти применение как в оптике для создания оптических устройств и систем нового поколения, так и при создании вычислительных устройств нового типа.
Интерес представляет моделирование взаимодействия электромагнитного излучения с поверхностями различных материалов с целью выбора наиболее подходящих для решения поставленных задач. Для моделирования принимается, что взаимодействие происходит в форме так называемой поверхностной электромагнитной волны (ПЭВ) [1], которая являются решением нелинейного уравнения Шредингера.

Рис. 1. Ориентация векторов, составляющих ПЭВ вдоль границы раздела двух сред с диэлектрическими проницаемостями e1 и e2. Среда 2 оптически активна.
Рассматривается образование поверхностной волны на границе раздела двух сред с диэлектрическими проницаемостями e1 и e2 (рис. 1).
При условии, что одна из двух сред (среда 2) является оптически активной, решения уравнений Максвелла для рассматриваемого случая могут быть получены в виде [1]:
U = U0 exp(+k1,2 z)cos(wt - ks x),     (1)
где: U0  - амплитуда рассматриваемого компонента ПЭВ (E1z, E2z или Ex);
ks - волновой вектор и для поверхностной волны ks = kx;
k1, k2 - коэффициенты затухания в средах 1 и 2;
t - время.
Знак «+» относится к среде 1,   «-» к среде 2.
Волновой вектор ks  в обеих средах одинаков, вектор магнитного поля H также одинаков в обеих средах.
 

Рис. 2. Поверхностная электромагнитная волна.
1 - среда 1. 2 - среда 2. Компоненты ПЭВ (рис. 2), распространяющейся вдоль границы раздела двух сред с диэлектрическими проницаемостями e1 и e2, определяются по формулам [1]:
Ex = Ex1 = Ex2 = i (-e1 - e2)-0,5 H
E1z =  - (e2/e1(e1 + e2))0,5 H          (2)
E2z =  - (e1/e2(e1 + e2))0,5 H,
    где:
H - магнитная проницаемость,
Ex - составляющая электрического поля вдоль волнового вектора,
E1z - составляющая электрического поля перпендикулярно поверхности раздела в первой среде,
E2z - составляющая электрического поля перпендикулярно поверхности раздела во второй среде.
Постоянные распространения поверхностной волны:
ks = k0(e2/e1(e1 + e2))0,5
k1 = ks(-e1/e2)0,5       (3)
k2 = ks(-e2/e1)0,5
Если принять, что потери энергии ПЭВ при ее распространении вдоль поверхности пренебрежимо малы,  то ks, k1 и k2 «должны быть вещественными и положительными числами» [1].
Для этого, согласно (3), диэлектрические проницаемости e1 и e2  должны иметь разные знаки:
e2 < 0 и |e2| > e1       (4)
Диэлектрическая проницаемость e  для не поглощающих сред - вещественна, для поглощающих является комплексным числом, зависящим от частоты. Второе действительно для полупроводников и металлов. При этом у полупроводников мнимая часть существенно меньше, чем у металлов, а у металлов действительная часть пренебрежимо мала по сравнению с действительной частью у полупроводников.
Для определения значений диэлектрической проницаемости e2 применена модель Друде [2],  в которой:
wp - плазменная частота,
eoo  - диэлектрическая проницаемость на бесконечности  и
tp - время релаксации плазменных колебаний.
Тогда:
e2 =   eoo- eoo wp2tp2/(1 + wp2tp3)     (4)
— действительная часть диэлектрической проницаемости;
e2 =   eoo- eoo wp2tp/(w + wp2tp3)      (5)
— мнимая часть диэлектрической проницаемости;
2n2 = (e1 + e2)0,5 + e1                         (6)
— удвоенный квадрат показателя преломления;
2k2 = (e12 + e22)0,5 - e1                      (7)
— удвоенный квадрат показателя поглощения;
R = ((n - 1)2 + k2))/((n + 1)2 + k2)      (8)
— коэффициент отражения.

Моделирование

Моделируется ПЭВ, которая распространяется вдоль поверхности раздела двух сред. Рассматриваются следующие материалы: медь (рис. 3), кремний (рис. 4), карбид кремния (рис. 5), ниобат лития (рис.6). Рассматривается:
1) падающая волна с длиной l=0,4мкм, с напряженностью магнитного поля H =1А/м (что соответствует индукции B = 4p10-7 Тл) и ее электрические составляющие вдоль вертикальной оси E1z и E2z с вычислением действительной и мнимой частей;
2) для составляющей этой волны E1z  определяется расстояние, на котором она, при взаимодействии с отраженной волной, имела бы интерференционный максимум.
1. Вычисление действительной и мнимой частей составляющей E1z падающей волны

Рис. 3. Пример расчета величины вектора E1z по формуле (1) на границе раздела воздух- медная поверхность.
По оси x – действительная составляющая вектора E1z, по оси y – мнимая.
Расчет выполнен для длины волны 0,4 мкм, для высоты 1 мкм над поверхностью. Напряженность поля E2z под поверхностью равна 0, (E2z=0). Приведенные далее рисунки позволяют оценить зависимость от длины волны (рис. 4) и от координаты z (рис. 5  и 6).
  
Рис. 4. Пример расчета величины вектора E2z по формуле (1) на границе раздела
воздух - кремниевая поверхность.
По оси x – действительная составляющая вектора E2z, по оси y – мнимая.
Расчет выполнен для различных длин волн (0,4 мкм слева и 0,8 мкм справа), для одной и той же координаты z = 0,8 мкм.

Рис. 5. Расчет величины вектора E2z по формуле (1) на границе раздела
воздух- поверхность карбида кремния.
По оси x – действительная составляющая вектора E2z, по оси y – мнимая.
Расчет выполнен для одной и той же длины волны (0,4 мкм) для различных координат (z=0 слева и z=0,1 мкм справа).
 
Рис. 6. Расчет величины вектора E1z по формуле (1) на границе раздела
воздух- поверхность из ниобата лития (LiNiO3).
По оси x – действительная составляющая вектора E1z, по оси y – мнимая.
Расчет выполнен для одной и той же длины волны (0,4 мкм) для различных координат (z=0 слева и z=0,1 мкм справа).
 Представляет также интерес интерференционное взаимодействие между падающей и отраженной волной при различных значениях разностей хода.
Для изучения такого взаимодействия можно рассмотреть компоненты векторов напряженности (1,2) в пространстве, образованном собственно этими компонентами и их «копиями» сдвинутыми на определенное, наперед заданное расстояние по какой-либо координате.
 
Рис. 7. Возникновение интерференционной периодичности у поверхности кремния
при взаимодействии падающей и отраженной волн на высоте 5 мкм.
Картина существенно зависит от высоты над поверхностью, что хорошо видно, например, при сравнении рисунков 8 и 9. Расчеты были выполнены для всех материалов, однако, из-за ограниченных размеров статьи здесь представлены наиболее наглядные графические результатов этих расчетов.
 
Рис. 8. . Возникновение интерференционной периодичности
у поверхности карбида кремния при взаимодействии падающей и отраженной волн на высоте 5 мкм
 
Рис. 9 То же на высоте 1 мкм.
 
Рис. 10. Возникновение интерференционной периодичности у поверхности ниобата лития при взаимодействии
падающей и отраженной волн на высоте 8 мкм
Литература.
1. Либенсон М.Н. Поверхностные электромагнитные волны оптического диапазона// Соросовский образовательный журнал, 1996, N10. с.92-98.
3. Ашкрофт Н., Мермин Н.. Физика твердого тела. т. 1, 2. М.:Мир, 1979