О релятивистской формуле E = mc²

 «Но что ни говори, он добрый малый; в особенности восхищает меня та ловкость, которая стяжала ему репутацию великого умника. Я говорю о его манере отрицать то, что есть, и распространяться о том, чего не существует».
  Эдгар По

В статье рассматривается формула E = mc². Показывается, что в СТО формула получена на основе ошибочных  предположений и применительно к фотону приводит к абсурдному результату.
 Обосновывается вывод о том, что в действительности данная формула имеет иной физический смысл и не связана с представлением об увеличении массы движущихся тел, тем самым ставится под сомнение истинность общей теории относительности, основанной на этом представлении.  Связь между массой и энергией в СТО  "Наиболее важный результат специальной теории относительности касался инерционной массы материальной системы. Было очевидно, что инерционная масса системы должна зависеть от содержащейся в ней энергии, и мы пришли к убеждению, что инертная  масса является не чем иным,  как  скрытой энергией».(А. Эйнштейн [1])
 Приведенная цитата  выражает так  называемый принцип эквивалентности (пропорциональности) массы и энергии, или закон инерции энергии (ЗИЭ). Математически он описывается  знаменитой эйнштейновской формулой  E = mc²  (1)

 Как объясняет Лауреат Нобелевской премии Р.Фейнман, эта формула получена на основе следующих рассуждений.

 Известно, что согласно СТО масса тел зависит от скорости их движения. Эта зависимость дается уравнением
 m = m₀(1 - v²/c²) ^-1/2   (2)
 где m₀ – масса неподвижного тела, или масса тела в состоянии покоя;
 v – скорость движения данного тела.
 Разлагая (2) «в ряд по формуле бинома Ньютона, можно найти приближенно рост массы при малых скоростях. Получается
 m₀ (1 - v²/c²) ^-1/2 = m₀ (1 + 0,5v²/c² + 3,75v⁴/c⁴ + …)
 Из формулы ясно, что при малых  v ряд быстро сходится и первых двух-трех членов здесь вполне достаточно. Значит, можно записать
 m~ m₀ + (c^-2)m₀v²/2  (3)
 где второй член … выражает рост массы за счет повышения скорости. Но m₀v²/2 – это кинетическая энергия в … ньютоновском смысле этого слова. Значит, можно сказать, что прирост массы … равен приросту кинетической энергии, деленной на c².
 Это наблюдение навело Эйнштейна на мысль, что массу тела можно выразить проще, чем по формуле (2), если сказать, что масса равна полному содержанию энергии в теле, деленному на c².
Если (3) помножить на c², получается
 mc² = m₀c² + m₀v²/2 + … (4)
 Здесь левая часть дает полную энергию тела, а в последнем члене справа мы узнаем обычную кинетическую энергию (очень большое постоянное число m₀c²) как часть полной энергии тела, а именно как его внутреннюю энергию, или «энергию покоя». [2].
 Обозначив  величину mc² буквой E, получим: E = mc² ».
 Далее Р.Фейнман продолжает:  «К каким следствиям мы придем, если вслед за Эйнштейном предположим, что  энергия тела всегда равна mc²? Тогда мы сможем вывести формулу (1) зависимости массы  от  скорости, ту самую, которую до сих пор мы принимали на веру (и из которой была выведена формула E = mc² – В.П.). Пусть тело сперва покоится, обладая энергией E = mc². Затем мы прикладываем к телу силу, которая сдвигает его с места и поставляет ему кинетическую энергию; раз энергия примется возрастать, то начнет расти и масса (это все заложено в первоначальном предположении). Пока сила действует, энергия и масса продолжают расти…
Быстрота роста энергии со временем равна произведению силы на скорость  dE/dt = Fv . (5)
 Кроме того, F = d(mv)/dt. Связав это все это с определением E (полученным из того самого уравнения для массы, которое мы только собираемся получить – В.П.) и подставив в (5), получим
 d(mc²)/dt = v d(mv)/dt (6)
 Мы хотим решить это уравнение относительно m. Для этого помножим обе части на 2m. Уравнение обратится в  c² (2m)dm/dt = 2mv d(mv)/dt. (7)
 Теперь нам нужно избавиться от производных, т.е. проинтегрировать обе части равенства.
 В величине (2m)dm/dt можно узнать производную по времени от m², а в (2mv)d(mv) /dt – производную по времени от (mv²).
Значит, (7) совпадает с  c²d(m²)/dt = d(m²v²)/dt. (8)
 Когда производные двух величин равны, то сами величины могут отличаться не больше, чем на константу C. Это позволяет написать  m²c² = m²v² + C. (9)
 Определим теперь константу C явно. Так как уравнение (9) должно выполняться при любых скоростях, то можно взять v = 0 и обозначить в этом случае массу через m₀. Подстановка этих чисел в (9) дает
 m₀²c² = 0 + C.
 Это значение C теперь можно подставить в уравнение (9). Оно принимает вид
 m²c² = m²v² + m₀²c². (10)
 Разделим на c² и перенесем члены с m в левую часть
 m²(1 - v²/c²) = m₀²,  откуда
 m = m₀(1 - v²/c²) ^-1/2  (11)» [2].
 Ловко, ничего не скажешь! Вначале мы предположили без всяких на то оснований, что масса движущегося тела изменяется в соответствии с формулой (1). Затем, на основании этой формулы, т.е. опять-таки без всякого на то основания, вывели формулу (2). Затем, уже на основании формулы (2), которую теперь мы считаем безусловно правильной, мы снова возвращаемся к формуле (1), но теперь уже как бы на законном основании.

 Очевидно,  однако, что «В величине (2m)dm/dt можно узнать производную по времени от m²» только в том случае, если заранее предположить, что масса тела изменяется со временем. Таким образом, приведенное «доказательство» истинности формулы (1) является чистейшей тавтологией, так как изначально предполагается то, что требуется доказать. К слову сказать, вся СТО является тавтологией, поскольку изначально как постулаты принимаются положения, на основе которых выводятся уравнения, доказывающие истинность тех же самых положений, ранее принятых без доказательства как основополагающие постулаты.

 Как следует из анализа опыта Майкельсона-Морли, сокращение длины, если оно в действительности имеет место,  должно  быть  пропорционально  величине 1/(1 - v²/c²), а не (1 - v²/c²) ^-1/2 как считается в настоящее время. Следовательно, и увеличение массы движущихся тел, если таковое имеет место в действительности, также должно быть пропорционально величине 1/(1 - v²/c²), а не (1 - v²/c²) ^-1/2.

Таким образом, приведенные выше доказательство истинности формулы (1) изначально основано на ошибочных предположениях. Вместе с тем, как это показано в [3], масса электронов, движущихся в однородном электрическом поле линейного ускорителя, возрастает при постоянной скорости их движения пропорционально напряженности этого поля и расстоянию, пройденному электронами в этом поле.

 Еще одно противоречие обнаруживается при применении формулы E = mc² для определения энергии фотонов, масса которых, как известно, равна нулю. В этом случае в соответствии с формулой (1) энергия фотонов также должна быть равна нулю,  что совершенно не соответствует действительности. Таким образом, вопреки  утверждению Эйнштейна, что «всякая энергия E обладает пропорциональной ей инерцией (E/c²)» [1], энергия фотона не «обладает пропорциональной ей инерцией», т.е. массой.

 Предположим теперь, что две античастицы, скажем, электрон и позитрон, движутся навстречу друг другу под воздействием электромагнитных полей, создаваемых каждой из частиц. По мере сближения воздействие частиц друг на друга будет увеличиваться, соответственно, будет увеличиваться и скорость сближения этих частиц. Предположим, что непосредственно перед столкновением скорость каждой из частиц равна скорости света. Тогда, в соответствии с представлениями механики Ньютона, кинетическая энергия каждой из частиц оказывается равной mc²/2. Соответственно суммарная кинетическая энергия столкновения оказывается равной mc²/2 + mc²/2 = mc².

 Известно, что столкновении двух античастиц сопровождается их аннигиляцией, в результате которой образуются фотоны, энергия которых в точности соответствует формуле E = mc², которую можно записать в виде  E = (2m)c²/2, где  2m – масса аннигилированных частиц.

 Как писал Эйнштейн, «Не исключена возможность того, что теорию удастся проверить для вещества, энергия которых меняется в большой степени (например, для солей радия)» [1]. В настоящее время совершенно точно известно, что количество энергии, высвобождающейся при радиоактивном распаде  ядер атомов нестабильных химических элементов, в точности равно уменьшению (дефициту) массы, исчезающей при таком распаде. Таким образом, вопреки общепринятому мнению, формула (2) описывает именно процесс прямого превращения вещества в энергию излучения и никак не связана с формулой (11), не имеющей никакого физического смысла.

 По мнению Эйнштейна, «Если тело отдает энергию E в виде излучения, то его масса уменьшается на E/c2. При этом, очевидно, несущественно, что энергия, взятая у тела, прямо переходит в лучистую энергию, так что мы приходим к более общему выводу». [1]. Но это энергия выделяется именно при радиоактивном распаде нестабильных ядер и никак не зависит от скорости их движения.

 В настоящее время известны и обратные процессы перехода лучистой энергии в вещество, например, при распаде фотонов. Суммарная кинетическая энергия частиц – электрона и позитрона -  образующихся при таком распаде, оказывается равной энергии фотона, в результате распада которого образовались эти частицы.

 Таким образом, формула E = mc² описывает независящую от скорости тела величину энергии, высвобождающейся при полном превращении этого тела в излучение, что возможно при тех или иных ядерных процессах, тогда как формула Ek = mv²/2 выражает зависящую от скорости кинетическую энергию этого же тела. Тем самым теряет смысл лежащее в основе общей теории относительности представление  об инерции энергии (росте массы со скоростью), а, следовательно, и положение о тяжести энергии. По той же причине безоснователен и другой тезис Эйнштейна, согласно которому «гравитационные свойства системы должны определяться теми же величинами, которые обусловливают энергетические свойства этой системы» [1]. Иначе говоря, вопреки сложившемуся мнению специальная теория относительности не дает никаких оснований для замены ньютоновского гравитационного заряда – массы – энергией [4].

 Посмотрим теперь, как другой Лауреат Нобелевской премии Л.Купер объясняет суть общей теории относительности (ОТО), предполагающей замену массы реальных физических тел их энергией.

 Масса и энергия в общей теории относительности  Как объясняет Л.Купер, «В теории гравитации Ньютона сила (гравитационная), действующая между двумя телами, например, между Землей с массой M_З и небольшим свинцовым шариком с массой m:
 F =gM_Зm/R²
(величина), пропорциональна массе шарика m. Согласно второму закону Ньютона, ускорение свинцового шарика (величина) обратно пропорциональна его массе. Следовательно, под действием гравитационной силы Земли (или любой другой гравитационной силы) все шарики… падают с одинаковым ускорением
 a = gM_З/R².
 Представим, говорит Эйнштейн, что мы находимся внутри такого лифта…, из которого не видно, что происходит снаружи. Если лифт покоится (или движется равномерно) в постоянном гравитационном поле,  то все предметы, выроненные в лифте, будут падать с ускорением силы тяжести. Представим теперь такой же лифт, но находящийся вдали от массивных тел, т.е. в нулевом гравитационном поле. И пусть этот лифт движется вверх с ускорением g по отношению к инерциальной системе отсчета. Все тела, выроненные во втором лифте, будут отставать от него, так что наблюдателю, находящемуся в лифте, будет казаться, что эти тела падают на пол с ускорением, равным по величине g. Одно и то же «реальное» движение с равным успехом  можно объяснить либо 1) ускоренным движением лифта вверх, либо 2) действием гравитационной силы в противоположную сторону. Этот вывод можно сформулировать в виде принципа эквивалентности: однородное гравитационное поле эквивалентно постоянному ускорению. Можно было бы считать, что частица, падающая вниз см ускорением g, ведет себя так либо из-за того, что на нее действует гравитационная сила, либо из-за того, что наш лифт (система отсчета) движется вверх с ускорением g.
 Например, луч света, распространяющийся в инерциальной системе по прямой линии, будет с точки зрения наблюдателя, находящегося в равноускоренном лифте, изгибаться. Наблюдатель, находящийся в покоящемся лифте, но при наличии гравитационного поля, будет видеть тот же искривленный путь светового луча. В конце концов, мы … можем заменить принцип инерции: «если на частицу не действуют силы, она движется равномерно по прямой линии» утверждением: «если на тело не действуют силы, его естественным движением будет падение на пол с ускорением g» [4].

 Теперь переведем дух и попробуем осмыслить, что же нам рассказал Л. Купер. «Например, луч света, распространяющийся в инерциальной системе по прямой линии, будет с точки зрения наблюдателя, находящегося в равноускоренном лифте, изгибаться». Пусть в инерциальной системе отсчета луч света движется из точки a в точку b перпендикулярно движению равноускоренного лифта. Наблюдатель, находящийся в лифте, видит, что точка b движется в направлении, обратном его действительному движению. Поскольку и в одной, и в другой системе отсчета луч света попадает в точку b, наблюдатель, находящийся в движущемся лифте, считает, что траектория луча, движущегося в инерциальной системе отсчета, искривляется.

 Теперь посмотрим, что увидит наблюдатель, находящийся в покоящемся лифте. Как и прежде, луч света распространяется в инерциальной системе по прямой линии. «Наблюдатель, находящийся в покоящемся лифте, но при наличии гравитационного поля, будет видеть тот же искривленный путь светового луча».
 Что значит «находящийся в покоящемся лифте»? Покоящемся относительно чего? Относительно инерциальной системы? Тогда что значит «при наличии гравитационного поля»? Поля внутри лифта или же поля в инерциальной системе, в которой распространяется луч света?

 Если речь идет о поле в инерциальной системе, тогда искривление светового луча в этой системе обусловлено воздействием силы гравитации на фотоны, движущиеся в этом поле. Но это возможно только в том случае, если фотоны имеют массу, отличную от нуля. В сущности, на этом предположении и построена вся ОТО. В действительности, фотоны являются безмассовыми частицами, поэтому есть достаточные, на наш взгляд, основания считать, что ОТО, как и СТО, построена на предположениях, не соответствующих действительности. В отличие от теории Ньютона искривление траектории тела, движущегося в поле тяготения, происходит не из-за действия силы, а вследствие особых свойств пространства. Свет, например, не распространяется по евклидовым «прямым линиям» вблизи массивного тела. А поскольку все тела, включая световые лучи, движутся по искривленным траекториям (в отсутствие сил), можно считать, что само пространство искривлено.

 Традиционно считается, что существует три так называемых подтверждения общей теории относительности, в которых можно обнаружить (или почти обнаружить) незначительное различие в предсказываемых общей теорией и теории Ньютона.
 Искривление светового луча
 «Когда луч света проходит через гравитационное поле, его траектория должна искривляться. В частности, если свет от звезды распространяется вблизи края Солнца, мы должны наблюдать смещение луча».
 Красное смещение
 Согласно ОТО, «скорость хода часов зависит от локального значения напряженности гравитационного поля. В качестве простейших часов можно рассматривать колебания атома или световых частиц (фотонов) Сдвиг частоты колебаний фотона приводит к изменению цвета светового пучка в сторону красного участка спектра, которое называется поэтому (гравитационным) красным смещением. Фотон характеризуется энергией и частотой
 E = hn ,
 где h = 6,7 10^-27  , и ln = c .
 Если считать, что энергия связана с массой по формуле
 E = mc²
 А любая масса подвержена действию гравитационных сил, то гравитационная потенциальная энергия фотона, находящегося вблизи поверхности большой звезды с массой M_зв и радиусом R_зв будет равна gEM_зв/c²R_зв.
 Кинетическая энергия фотона уменьшается, когда он взбирается (образно выражаясь) с уровня низкого потенциала звезды на более высокий уровень потенциала Земли. Соответствующий сдвиг частоты
 Dv/v =изменению гравитационного потенциала /c²
 Хотя этот эффект наблюдают в астрономических масштабах, его величина чрезвычайно мала. Недавно он был измерен вблизи поверхности Земли с помощью новейшей аппаратуры, обладающей исключительно высокой разрешающей способностью. (Ожидаемый сдвиг для фотона с длиной волны  = 300 нм, проходящего путь L = 10⁴ см, Dv/v = gL/c² ~10^-15)
 Сравнение эксперимента с теорией дало  (Dv)_эксп/(Dv)_теор = 1,05»
 Смещение перигелия Меркурия
  «Если учесть влияние всех видимых известных планет (как это сделал Леверье), то мы получим для смещения перигелия Меркурия величину порядка  в столетие. Необъяснимым остается лишь различие в  за столетие между предсказанием теории Ньютона и астрономическими наблюдениями. Никакого разумного объяснения этому явлению придумать не удалось. Такое объяснение сейчас излишне, так как общая теория относительности, из которой следуют все выводы ньютоновской теории, касающиеся других планет, дает для смещения перигелия Меркурия недостающие  за столетие» [4].

 Рассмотрим эти подтверждения по порядку:

 Искривление светового луча
 В действительности, однако, когда луч света проходит вблизи края Солнца, он движется не в «пустоте», или искривленном пространстве, а в атмосфере Солнца, плотность которой изменяется в зависимости от расстояния от его «поверхности».
 Пусть луч света от некоторой звезды движется по касательной к поверхности Солнца, как это изображено на рис.1.
 Рис. 1. Искривление луча света вблизи поверхности Солнца  При приближении к точке касания  луч света движется из менее плотных слоев атмосферы Солнца в более плотные. После прохождения точки касания луч света движется из более плотных слоев атмосферы Солнца в менее плотные. Как известно, при таком движении луча траектория его движения искривляется вследствие рефракции, вследствие чего наблюдатель увидит звезду в точке, где звезды на самом деле нет.
 Как отмечает Л.Купер, проводить и интерпретировать измерения величины отклонения луча света чрезвычайно сложно. Два  астронома, глядя на одну и ту же фотографию видимого положения звезды,  могут дать различные объяснения. «Все согласны с тем, что луч света слегка искривляется, но совпадает ли численно это искривление с предсказаниями общей теории относительности, еще не ясно» [4]. Учитывая тот факт, что при проведении подобного рода наблюдений не учитывается влияние рефракции на траекторию движения луча, искривление луча света при его движении вблизи поверхности Солнца нельзя считать доказательством истинности ОТО.
 Красное смещение
 В действительности, масса фотона равна нулю, поэтому фотон не подвержен действию гравитационных сил. Следовательно, никаких эффектов, обусловленных  действием на фотон гравитационных сил, не должно существовать. Остается только удивляться искусству экспериментаторов, получающих нужный для теории результат.

 Изменение частоты фотона в описанном выше опыте обусловлено тем, что фотон движется в среде – атмосфере Земли или какой-либо звезды, коэффициент преломления которой непрерывно изменяется в соответствии с изменяющейся плотностью атмосферы.

 Пусть у поверхности Земли коэффициент преломления атмосферы Земли равен n₀. Тогда длина волны l₀ фотона у поверхности Земли будет равна
 l₀ = cT₀/n₀
 где T₀ – период колебаний фотона у поверхности Земли.
 Предположим, что на высоте L = 10⁴ см над поверхностью Земли коэффициент преломления атмосферы равен n₁ < n₀. Теперь длина волны l₁ будет равна
 l₁ = cT₀/n₁
 Так как n₁ < n₀, то l₁ > l₀. Таким образом, с уменьшением коэффициента преломления среды, длина волны фотона, движущегося в этой среде, увеличивается. Увеличение длины волны фотона означает уменьшение его частоты, т.е. смещение частоты в красную часть спектра. Этим, т.е. движением фотона в среде с переменным коэффициентом преломления, и объясняется  изменение его частоты при движении из более плотных слоев данной в менее плотные. В этом и заключается суть так называемого «гравитационного красного смещения».
 Смещение перигелия Меркурия
 Как было показано выше, ОТО исходит из предположения о наличии у фотона гравитационной массы, соответствующей его энергии, что не соответствует действительности. Поэтому имеются серьезные сомнения, что ОТО дает правильное объяснение и аномальному смещению перигелия Меркурия.
 Вероятным объяснением такого смещения может служить тот факт, что вопреки Законам Кеплера, предполагающим, что все планеты обращаются вокруг неподвижного Солнца, в действительности и планеты, и само Солнце обращаются вокруг центра масс Солнечной системы. Это дополнительное движение Солнца, возможно, и является действительной причиной аномального смещения перигелия не только Меркурия, но и других планет Солнечной системы, однако это тема для отдельного разговора.  Заключение  1. Формула E = mc² определяет независящую от скорости движения тела величину его внутренней энергии, выделяемой при полной аннигиляции этого тела, т.е. при превращении вещества тела в излучение. Никакого другого смысла эта формула не имеет.
 2. Формула E = mv²/2 описывает зависящую от скорости v движения тела массы m величину его кинетической энергии.
 3. При описании энергии фотона величина m в формуле  E = mc² равна половине массы тел, в результате аннигиляции которых возник фотон с энергией E = hn , и не является массой фотона.
 4. Вывод формулы E = mc² в ОТО является тавтологией, т.е. выводом того же из того же:
 вначале принимается «на веру» предположение о зависимости массы тела от скорости его движения  в соответствии с формулой (1);
 затем на основе формулы (1) выводится формула (2), из которой снова выводится формула (1).

 Точно так же и в СТО тавтологией является принцип постоянства скорости света и так называемая «релятивистская» формула сложения скоростей: вначале «на веру» принимается предположение о независимости скорости света от скорости движения системы отсчета, в которой распространяется свет; затем на основе этого предположения выводится система уравнений, которые обеспечивают ранее выдвинутое предположение в виде так называемого «релятивистского» правила сложения скоростей.

 5. Таким образом, как ОТО, так и СТО основаны на ошибочных предположениях, основные положения этих теорий являются тавтологией; объяснения, даваемые этими теориями реальным физическим явлениям, не соответствуют действительности.
 Источники информации:
1. Эйнштейн Альберт. Собрание научных трудов, том 1. Москва, «Наука»,  1965.
2. Р.Фейнман, Р.Лейтон, М.Сэндс. Фейнмановские лекции по физике, том 1. Москва, «Мир», 1976.
3. W.Bertozzi at al. Speed and Kinetic Energy of Relativistic Electrons. American Journal of Physics, 32, 551, 1964
4. Л. Купер. Физика для всех. Том 2. «Мир», Москва, 1974.
5. V.N.Strel’tsov. Incorrectness of the Formula E = mc². Galilean Electrodynamics. Volume 14. Special Issues 1, 2003.

Послесловие редактора: Нельзя не отметить, что критическому разбору подвергнуты работы, расчитанные на широкую публику ([2] и [4]), что несколько ослабляет позиции автора.